以下を考えます．
$$\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl(\displaystyle\frac{b_1(x)b_2(x)\cdots}{a_1(x)a_2(x)\cdots}\biggr)$$

まず規則を見たいので，以下の微分を先に見てみます．
$$\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl\{\displaystyle\frac{b_1(x)b_2(x)}{a_1(x)a_2(x)}\biggr\}$$

$$=\displaystyle\frac{\{b_1(x)b_2(x)\}’a_1(x)a_2(x)-b_1(x)b_2(x)\{a_1(x)a_2(x)\}’}{\{a_1(x)a_2(x)\}^2}$$

$$=\displaystyle\frac{b_1(x)b_2(x)}{a_1(x)a_2(x)}\cdot\biggl\{\biggl(\displaystyle\frac{{b_1}'(x)}{b_1(x)}+\displaystyle\frac{{b_2}'(x)}{b_2(x)}\biggr)-\biggl(\displaystyle\frac{{a_1}'(x)}{a_1(x)}+\displaystyle\frac{{a_2}'(x)}{a_2(x)}\biggr)\biggr\}$$

同様の計算で$\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl\{\displaystyle\frac{b_1(x)b_2(x)b_3(x)}{a_1(x)a_2(x)a_3(x)}\biggr\}$を計算すると
$$\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl\{\displaystyle\frac{b_1(x)b_2(x)b_3(x)}{a_1(x)a_2(x)a_3(x)}\biggr\}$$
$$=\displaystyle\frac{b_1(x)b_2(x)b_3(x)}{a_1(x)a_2(x)a_3(x)}\cdot\biggl\{\biggl(\displaystyle\frac{{b_1}'(x)}{b_1(x)}+\displaystyle\frac{{b_2}'(x)}{b_2(x)}+\displaystyle\frac{{b_3}'(x)}{b_3(x)}\biggr)-\biggl(\displaystyle\frac{{a_1}'(x)}{a_1(x)}+\displaystyle\frac{{a_2}'(x)}{a_2(x)}+\displaystyle\frac{{a_3}'(x)}{a_3(x)}\biggr)\biggr\}$$
となるので，以下が推測できそうです．
$$\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl\{\displaystyle\prod_i\displaystyle\frac{b_i(x)}{a_i(x)}\biggr\}=\displaystyle\prod_i \displaystyle\frac{b_i(x)}{a_i(x)}\biggl(\displaystyle\sum_j \displaystyle\frac{{b_j}'(x)}{b_j(x)}-\displaystyle\sum_k \displaystyle\frac{{a_k}'(x)}{a_k(x)}\biggr)$$

また，対数微分を利用すればスマートに導出できそうです．
$$y=\displaystyle\frac{b_1(x)b_2(x)\cdots b_n(x)}{a_1(x)a_2(x)\cdots a_n(x)}$$
とおき，両辺対数をとると
$$\log y=\displaystyle\sum_i \log b_i(x)-\displaystyle\sum_j \log a_j(x)$$
両辺微分して
$$\displaystyle\frac{y’}{y}=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{{b_i}'(x)}{b_i(x)}- \displaystyle\sum_j \displaystyle\frac{{a_j}'(x)}{a_j(x)}$$
以上から
$$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\prod_i
\displaystyle\frac{b_i(x)}{a_i(x)}\biggl(\displaystyle\sum_j\displaystyle\frac{{b_j}'(x)}{b_j(x)}- \displaystyle\sum_k \displaystyle\frac{{a_k}'(x)}{a_k(x)}\biggr)$$
となり同様の結果となりますね．

2つの関数の積の微分は，
$$\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
$$=f(x)g(x)\biggl\{ \displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)} \biggr\}$$です．
次に$f(x)g(x)h(x)$の微分は
$$\{f(x)g(x)h(x)\}’=\{f(x)g(x)\}’h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$
$$=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$
$$=f(x)g(x)h(x)\biggl(\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}+\displaystyle\frac{h'(x)}{h(x)}\biggr)$$
となります．
他にも，$y=f(x)g(x)h(x)$とおくと
$$\log y=\log \{f(x)\}+\log \{g(x)\}+\log \{h(x)\}$$

両辺微分して
$$\displaystyle\frac{y’}{y}=\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}+\displaystyle\frac{h'(x)}{h(x)}$$

以上より
$$y’=y\biggl(\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}+\displaystyle\frac{h'(x)}{h(x)}\biggr)$$
$$=f(x)g(x)h(x)\biggl(\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}+\displaystyle\frac{h'(x)}{h(x)}\biggr)$$
となり同様の結果となる．

2つの積および3つの積の微分から規則がみえ，さらに関数にインデックス番号を付けると以下のようになりそう．
$$\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl\{\displaystyle\prod_{i} f_i(x)\biggr\}=\displaystyle\prod_{j}f_j(x)\displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{f_k'(x)}{f_k(x)}$$

前に素数に関したものを考えていた時，素数同士の差をみてみました．
$n$番目の素数を$p_n$として，$p_{n+1}-p_n$を見てみると，
きれいに下が一直線になりました．
次に$p_{n+2}-p_n$についても見てみると，
となり，これも下がきれいに一直線になっています．
以上より，
$$p_{n+1}-p_n\geq2\,\,(n\geq2)\cdots(1)$$
$$p_{n+2}-p_n\geq6\,\,(n\geq3)\cdots(2)$$
が成り立ちそうですね．また，$n\geq3$において，(1)と(2)を足すと
$$p_{n+2}+p_{n+1}-2p_n\geq8\,\,(n\geq3)\cdots(3)$$
となり，これも見てみると，下の一直線はまだ保っています．
これ以降，例えば$p_{n+4}-p_n$や$p_{n+8}-p_n$などはきれいな一直線性は失われていました．素数は不思議ですね．

$$D(\theta,\phi)=\displaystyle\sum_{n}\displaystyle\sum_{m}C_{nm}e^{jk\boldsymbol{V}_{nm}\cdot\boldsymbol{a}_r}$$
上式に，$\boldsymbol{a}_r=\boldsymbol{i}\sin\theta\cos\phi+\boldsymbol{j}\sin\theta\sin\phi+\boldsymbol{k}\cos\theta,\boldsymbol{V}_{nm}=\boldsymbol{i}nV_1+\boldsymbol{j}mV_2,C_{nm}=C_0e^{-j(n\delta_1+m\delta_2)}$を代入する．
ここで，$V_1$は$x$軸方向の素子間隔で$V_2$は$y$軸方向の素子間隔，$\delta_1$は$x$軸方向に与える素子間の位相差，$\delta_2$は$y$軸方向に与える素子間の位相差である．
$$D(\theta,\phi)=\displaystyle\sum_{n}\displaystyle\sum_{m}C_0e^{-j(n\delta_1+m\delta_2)}\cdot e^{jk(nV_1\sin\theta\cos\phi+mV_2\sin\theta\sin\phi)}$$
$$=C_0\displaystyle\sum_{n}e^{jn(kV_1\sin\theta\cos\phi-\delta_1)}\displaystyle\sum_{m}e^{jm(kV_2\sin\theta\sin\phi-\delta_2)}$$
$\Psi_x=kV_1\sin\theta\cos\phi-\delta_1,\Psi_y=kV_2\sin\theta\sin\phi-\delta_2$と置換して変形すると，アレーファクターは次のようになる．
$$D(\theta,\phi)=C_0\displaystyle\sum_{n}e^{jn\Psi_x}\displaystyle\sum_{m}e^{jm\Psi_y}$$
$$=C_0\displaystyle\frac{1-e^{jn\Psi_x}}{1-e^{j\Psi_x}}\displaystyle\frac{1-e^{jm\Psi_y}}{1-e^{j\Psi_y}}$$
オイラーの公式を使って整理すると，以下のように書ける．
$$D(\theta,\phi)=C_0e^{j\frac{n-1}{2}\Psi_x}\displaystyle\frac{\sin(\displaystyle\frac{n}{2}\Psi_x)}{\sin(\displaystyle\frac{1}{2}\Psi_x)}e^{j\frac{m-1}{2}\Psi_y}\displaystyle\frac{\sin(\displaystyle\frac{m}{2}\Psi_y)}{\sin(\displaystyle\frac{1}{2}\Psi_y)}$$
最大値は，$nm$（素子数）となる．

上図に示すようにアンテナ素子が間隔$d$で並んでいるとるする．


素子アンテナの電界は
$$E(r)=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr}}{r}\cdots(1)$$
で表され，$k$は波数であり，$k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}$である．

式（1）より各素子アンテナによる電界成分は，
$$E_1(r)=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1} \cdots(2)$$

$$E_2(r)=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_2}}{r_2}=E_0\displaystyle\frac{e^{-jk(r_1-d\sin\theta)}}{r_1-d\sin\theta}=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1}\displaystyle\frac{e^{jkd\sin\theta}}{1-\displaystyle\frac{d}{r_1}\sin\theta}\cdots(3)$$
ここで，
$$\displaystyle\lim_{r_1\to\infty}\displaystyle\frac{e^{jkd\sin\theta}}{1-\displaystyle\frac{d}{r_1}\sin\theta}=e^{jkd\sin\theta}\cdots(4)$$
これから，$n$番目の素子による電界は，
$$E_n(r)=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1}e^{jk(n-1)d\sin\theta}\cdots(5)$$
上式を末項として，全電界成分の和をとると，
$$E=E_1+E_2+\cdots+E_n=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1}\{ 1+e^{jkd\sin\theta}+\cdots+e^{jk(n-1)d\sin\theta}\}\cdots(6) $$
等比数列の和の式とオイラーの公式を用いると，以下のようになる．
$$E=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1}e^{j\frac{k}{2}(n-1)d\sin\theta}\displaystyle\frac{\sin(\displaystyle\frac{knd}{2}\sin\theta)}{\sin(\displaystyle\frac{kd}{2}\sin\theta)}\cdots(7)$$
式（7）に絶対値をとると
$$|E|=\displaystyle\frac{\sin(\displaystyle\frac{knd}{2}\sin\theta)}{\sin(\displaystyle\frac{kd}{2}\sin\theta)}\cdots(8)$$
のみとなり，これが指向性を表す項となる．さらに$\displaystyle\frac{kd}{2}\sin\theta=\psi$とおき$D(\theta)$と表現すると，式（8）は次のように表せる．
$$D(\theta)=\displaystyle\frac{\sin(n\psi)}{\sin(\psi)}\cdots(9)$$
式（9）の最大値は
$$D(\theta)=n\displaystyle\frac{\psi}{\sin(\psi)}\displaystyle\frac{\sin(n\psi)}{n\psi}\cdots(10)$$
と変形し，$\psi\to0$の極限を求める．
$$\displaystyle\lim_{\psi\to0}D(\theta)=n\displaystyle\lim_{\psi\to0}\displaystyle\frac{\psi}{\sin(\psi)}\displaystyle\frac{\sin(n\psi)}{n\psi}=n\cdots(11)$$
となり，最大値は$n$つまり，素子数となる．

上図は7素子の指向性である．

この図で$\pm\pi$の個所にメインローブ同様に大きいサイドローブがある．これがグレーティングローブであり，グレーティングローブのような大きいローブが現れるのは好ましくない．ここで，$\psi<\pi$より．$\displaystyle\frac{kd}{2}\sin\theta<\pi$，波数$k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}$より$\displaystyle\frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta<\pi$が導かれる．
$|\sin\theta|\leq1$より，$\displaystyle\frac{\pi d}{\lambda}<\pi$よって$d<\lambda$となる．
以上から，アレイアンテナの素子間隔は1波長より小さくする必要がある．
例えば，素子間隔$d=\displaystyle\frac{\lambda}{2}$とすると，$\theta=90$[deg]で$\psi=\displaystyle\frac{\pi}{2}$となる．よって，可視領域が$|\psi|\leq \displaystyle\frac{\pi}{2}$の範囲となる．
横軸を$\psi$座標で指向性を示すと，グレーティングローブが現れない範囲で可視領域はできるだけ広範囲にした方がよい．可視領域が広いほど実際の空間でのビーム幅は狭くなり，ビーム幅が狭ければ高利得のアンテナになるからである．