windows11でwavファイルを解凍したら，日本語をつかったファイル名が文字化けしていました．
いろいろ検索しましたが分からず，取引先の方に7-Zipで解凍すると，この文字化けがなくなると教えていただきました．
試したところ，文字化けが解消されました．

$f(x+h)$のテーラー展開は

$$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\displaystyle\frac{h^2}{2!}f^{”}(x)+\cdots $$

となります．これを確認してみます．
1次の微分までは簡単なので，2次微分までとします．

差分法を用いると2次微分は
$$f^{”}(x)=\displaystyle\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}$$
と表せます．（近似による）

ここから，

$$h^2f^{”}(x)=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\cdots(1)$$

右辺を計算します．ここで，
$$f'(x)=\displaystyle\frac{f(x+2h)-f(x)}{2h}$$
より，
$$ f(x+2h)=2hf'(x)+f(x) $$
これを式(1)右辺に代入して
$$ 2hf'(x)+f(x)-2f(x+h)+f(x)=2hf'(x)-2f(x+h)+2f(x) $$
以上より
$$ h^2f^{”}(x)=2hf'(x)-2f(x+h)+2f(x) $$
ここから
$$f(x+h)=f(x)+hf'(x)-\displaystyle\frac{h^2}{2}f^{”}(x) $$

あれ？最後の符号をどこかに落としたかも．．

ちょこちょこ式をいじってみました．以下，成り立つかな．

$${}_n C_r= \left(\displaystyle\prod_{k=1}^m\displaystyle\frac{(n-r+k)}{(r-k+1)} \right){}_n C_{r-m}$$

一応Scilabで確認

clear; function [res]=comb(n,r);//コンビネーション関数 　　res=factorial(n)/(factorial(r)*factorial(n-r)); endfunction n=15; r=5; m=3; res=1; for k=1:1:m; 　　res=res*((n-r+k)/(r-k+1)); end out=res*comb(n,r-m);//右辺 comb(n,r)//左辺

これを使って，2項間の漸化式を表現すると
$${}_n C_r=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\alpha\cdot {}_n C_{r-1}+\alpha\beta\cdot {}_n C_{r-2}\right)$$
ただし，$\alpha=\displaystyle\frac{n-r+1}{r},\beta=\displaystyle\frac{n-r+2}{r-1}$


確認用のコード．

clear; function [res]=comb(n,r);//コンビネーション関数 　　res=factorial(n)/(factorial(r)*factorial(n-r)); endfunction n=8; r=3; alpha=(n-r+1)/r; beta=(n-r+2)/(r-1); comb(n,r) out=0.5(alpha*comb(n,r-1)+alpha*beta*comb(n,r-2));

他にも
$$\displaystyle\frac{(r-m)!(n-r+m)!}{r!(n-r)!}
=\displaystyle\prod_{k=1}^m\displaystyle\frac{(n-r+k)}{(r-k+1)}$$
も確認．

clear; n=20; r=10; m=5; (factorial(r-m)factorial(n-r+m))/(factorial(r)factorial(n-r))//左辺 res=1; for k=1:1:m; 　　res=res*((n-r+k)/(r-k+1));//右辺 end

■1次LPF

設計する1次IIRフィルターの伝達関数を

$$G(z)=\displaystyle\frac{a_0+a_1z^{-1}}{1-b_1z^{-1}}-(*)$$
とする．

アナログフィルタR-C1次LPFの伝達関数は,
$$G(s)=\displaystyle\frac{1}{1+sCR}$$
である．

次に双一次Z変換
$$s=\displaystyle\frac{2}{T_s}\displaystyle\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$
($T_s$:サンプリング間隔)を代入し，$(*)$との恒等条件から．次のIIRフィルタの係数を得る．

$a_0=\displaystyle\frac{T_s}{T_s+2RC}$
$a_1=\displaystyle\frac{T_s}{T_s+2RC}$
$b_1=-\displaystyle\frac{T_s-2RC}{T_s+2RC}$

■2次LPF

設計する2次IIRフィルタの伝達関数を,
$$G(z)=\displaystyle\frac{a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}{1-b_1z^{-1}-b_2z^{-2}}$$
とする．

アナログフィルタR-L-C2次LPFの伝達関数は,
$$G(s)=\displaystyle\frac{1}{s^2LC+sCR+1}$$
である．

ここで，2次LPFの伝達関数
$$G(s)=\displaystyle\frac{\omega_0^2}{s^2+\displaystyle\frac{\omega_0}{Q} +\omega_0^2}$$
に合わせると,
$$\omega_0=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}},Q=\displaystyle\frac{1}{R}\sqrt{\displaystyle\frac{L}{C}}$$

ここから双一次Z変換を施し，各係数を求めると以下のようになる．

$a_0=\displaystyle\frac{\omega_0^2T_s^2Q}{4Q+2\omega_0T_s+\omega_0^2T_s^2Q}$
$a_1=\displaystyle\frac{2\omega_0^2T_s^2Q}{4Q+2\omega_0T_s+\omega_0^2T_s^2Q}$
$a_2=\displaystyle\frac{\omega_0^2T_s^2Q}{4Q+2\omega_0T_s+\omega_0^2T_s^2Q}$
$b_1=\displaystyle\frac{8Q-2\omega_0^2 T_s^2Q}{4Q+2\omega_0T_s+\omega_0^2T_s^2Q}$
$b_2=\displaystyle\frac{2\omega_0T_s-4Q-\omega_0^2T_s^2Q}{4Q+2\omega_0T_s+\omega_0^2T_s^2Q}$

複素フーリエ級数：$f(t)=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=-\infty}c_n e^{j2\pi nt/T}$
但し，$c_n=\displaystyle\frac{1}{T}\displaystyle\int^{T}_{0}f(t)e^{-j2\pi nt/T}dt$

櫛関数：$f(t)=\mbox{comb}(t)=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=-\infty}\delta(t-n)$

フーリエ係数：$c_n=\displaystyle\int^{1}_{0}\delta(t)e^{-j2\pi nt}dt=1 \,\,\,∵T=1$

$\mbox{comb}(t)=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{j2\pi nt}$ $=\displaystyle\sum^{-1}_{n=-\infty}e^{j2\pi nt}+1+\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}e^{j2\pi nt}$ $=1+\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}e^{-j2\pi nt} +\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}e^{j2\pi nt}$

$\underline{=1+2\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1} \mbox{cos}(2\pi nt)}$

■solution 1

$Z[x(nT+T)]=z^{T}{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x(nT+T)z^{-(nT+T)}+x(0)-x(0)}$

$=z^{T}{X(z)-x(0)}=\underline{z\cdot X(z)-z\cdot x(0)}$

■solution 2

$X(z)=\displaystyle\lim_{n \to \infty} [x(0)+x(T)z^{-1}+x(2T)z^{-2}+\cdot\cdot\cdot x(nT)z^{-n}]$-(i)

$Z[x(nT+T)]=\displaystyle\lim_{n \to \infty}[x(T)+x(2T)z^{-1}+ \cdot\cdot\cdot x(nT)z^{-(n-1)}+x(nT+T)z^{-n}]$-(ii)

(ii)に$z^{-1}$を乗算．

$z^{-1}\cdot Z[x(nT+T)]=\displaystyle\lim_{n \to \infty}[x(T)z^{-1}+x(2T)z^{-2}+ \cdot\cdot\cdot x(nT)z^{-n}+x(nT+T)z^{-(n+1)}]$-(iii)

(iii)-(i)を実行．

$z^{-1}\cdot Z[x(nT+T)]-X(z)=\displaystyle\lim_{n \to \infty}[-x(0)+x(nT+T)z^{-(n+1)}]=-x(0)$

(∵$\displaystyle\lim_{n \to \infty}z^{-(n+1)}=0$)

$z^{-1}\cdot Z[x(nT+T)]-X(z)=-x(0)$より,　

$\underline{Z[x(nT+T)]=z\cdot X(z)-z\cdot x(0)}$

■正弦波：$x_k=sin(k\omega T)$

$X(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} sin(k\omega T) z^{-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}
[ \displaystyle\frac{e^{j k \omega T}-e^{-jk\omega T}}{2j} ]z^{-k}
=\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty}\displaystyle\frac{1}{2j} \displaystyle\sum_{k=0}^{\zeta}[(e^{j \omega T}\cdot z^{-1})^k -( e^{-j \omega T}\cdot z^{-1})^k ] $

$=\displaystyle\frac{1}{2j} [\displaystyle\frac{1}{1-e^{j \omega T}z^{-1}} – \displaystyle\frac{1}{1-e^{-j \omega T}z^{-1}}](|z|>1)
= \displaystyle\frac{1}{2j} [\displaystyle\frac{ (e^{j\omega T}-e^{-j \omega T})z^{-1}}{ 1- (e^{j\omega T}+e^{-j \omega T})z^{-1}+z^{-2}} ]$

$=\displaystyle\frac{1}{2j} [\displaystyle\frac{2j sin(\omega T)z^{-1}}{ 1- 2cos(\omega T)z^{-1} +z^{-2}} ]=\displaystyle\frac{ sin(\omega T)z^{-1}}{ 1- 2cos(\omega T)z^{-1} +z^{-2}}$

■余弦波：$x_k=cos(k\omega T)$

$X(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} cos(k\omega T) z^{-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}
[ \displaystyle\frac{e^{j k \omega T}+e^{-jk\omega T}}{2} ]z^{-k}
=\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty}\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{k=0}^{\zeta}[(e^{j \omega T}\cdot z^{-1})^k +( e^{-j \omega T}\cdot z^{-1})^k ] $

$=\displaystyle\frac{1}{2} [\displaystyle\frac{1}{1-e^{j \omega T}z^{-1}} + \displaystyle\frac{1}{1-e^{-j \omega T}z^{-1}}] (|z|>1)
= \displaystyle\frac{1}{2} [\displaystyle\frac{2-(e^{j\omega T}+e^{-j \omega T})z^{-1}}{ 1- (e^{j\omega T}+e^{-j \omega T})z^{-1}+z^{-2}} ]$

$=\displaystyle\frac{1}{2} [\displaystyle\frac{2-2 cos(\omega T)z^{-1}}{ 1- 2 cos(\omega T)z^{-1} +z^{-2}} ]=\displaystyle\frac{1-cos(\omega T)z^{-1}}{ 1- 2cos(\omega T) z^{-1} +z^{-2}}$

■指数関数的に振幅が変化する正弦波：$x_k=e^{-akT}sin(k\omega T)$

$X(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} e^{-akT}sin(k\omega T) z^{-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} e^{-akT}[\displaystyle\frac{e^{j k \omega T}-e^{-jk\omega T}}{2j} ]z^{-k}$

$=\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty}\displaystyle\frac{1}{2j} \displaystyle\sum_{k=0}^{\zeta}[(e^{j \omega T-aT}\cdot z^{-1})^k -( e^{-j \omega T-aT} \cdot z^{-1})^k ] $

$=\displaystyle\frac{1}{2j} [\displaystyle\frac{1}{1-e^{j \omega T-aT}\cdot z^{-1}} – \displaystyle\frac{1}{1-e^{-j \omega T-aT} \cdot z^{-1}}](|z|>|e^{-aT}|)$

$= \displaystyle\frac{1}{2j} [\displaystyle\frac{e^{-aT}(e^{j\omega T}-e^{-j \omega T})z^{-1}}{ 1- e^{-aT}(e^{j\omega T}+e^{-j \omega T})z^{-1}+e^{-2aT}z^{-2}} ]= \displaystyle\frac{1}{2j} [\displaystyle\frac{e^{-aT}2j sin(\omega T) z^{-1}}{ 1- 2e^{-aT}cos(\omega T)z^{-1} +e^{-2aT}z^{-2}} ]$

$=\displaystyle\frac{e^{-aT} sin(\omega T) z^{-1}}{ 1- 2e^{-aT}cos(\omega T)z^{-1} +e^{-2aT}z^{-2}}$

■指数関数的に振幅が変化する余弦波：$x_k=e^{-akT}cos(k\omega T)$

$X(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} e^{-akT}cos(k\omega T) z^{-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} e^{-akT}[\displaystyle\frac{e^{j k \omega T}+e^{-jk\omega T}}{2j} ]z^{-k}$

$=\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty}\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\sum_{k=0}^{\zeta}[(e^{j \omega T-aT}\cdot z^{-1})^k +( e^{-j \omega T-aT} \cdot z^{-1})^k ] $

$= \displaystyle\frac{1}{2} [\displaystyle\frac{2-e^{-aT} (e^{j\omega T}+e^{-j \omega T})z^{-1}}{ 1- e^{-aT}(e^{j\omega T}+e^{-j \omega T})z^{-1}+e^{-2aT}z^{-2}} ]
=\displaystyle\frac{1}{2} [\displaystyle\frac{2-e^{-aT}2 cos(\omega T) z^{-1}}{ 1- 2e^{-aT}cos(\omega T)z^{-1} +e^{-2aT}z^{-2}} ](|z|>|e^{-aT}|)$

$=\displaystyle\frac{1-e^{-aT}cos(\omega T) z^{-1}}{ 1- 2e^{-aT}cos(\omega T)z^{-1} +e^{-2aT}z^{-2}}$

2×2行列で試してみます．

$$\mbox{def}\,\,\,\,\,\boldsymbol{w}
=\left[\begin{array}{cc}
w_{11} & w_{12} \\
w_{21} & w_{22}
\end{array} \right]
\,\,\,\,\,\,\, \mbox{subject to} \,\,\mbox{det} \boldsymbol{w}>0$$

■$\displaystyle\frac{\partial} {\partial \boldsymbol{w}}\mbox{log}(\mbox{det}\boldsymbol{w})$

$$\displaystyle\frac{\partial} {\partial \boldsymbol{w}}\mbox{log}(\mbox{det}\boldsymbol{w})
=\left[\begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{\partial} {\partial w_{11}}\mbox{log}(\mbox{det}\boldsymbol{w}) & \displaystyle\frac{\partial} {\partial w_{12}}\mbox{log}(\mbox{det}\boldsymbol{w}) \\
\ \displaystyle\frac{\partial} {\partial w_{21}}\mbox{log}(\mbox{det}\boldsymbol{w}) & \displaystyle\frac{\partial} {\partial w_{22}}\mbox{log}(\mbox{det}\boldsymbol{w})
\end{array}
\right]$$

$$=\displaystyle\frac{1}{\mbox{det}\boldsymbol{w}} \left[
\begin{array}{cc} w_{22} & -w_{21}　\\
-w_{12} & w_{11}
\end{array} \right]= \underline{(\boldsymbol{w}^{T})^{-1}}$$

■$\displaystyle\frac{\partial} {\partial x} \mbox{log}(\mbox{det}\boldsymbol{w})$

$$\displaystyle\frac{\partial} {\partial x} \mbox{log}(\mbox{det}\boldsymbol{w})
=\displaystyle\frac{1}{\mbox{det}\boldsymbol{w}}(\displaystyle\frac{\partial}{\partial w_{11}}\mbox{det}\boldsymbol{w}\cdot \displaystyle\frac{\partial w_{11}} {\partial x}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial w_{12}}\mbox{det}\boldsymbol{w}\cdot \displaystyle\frac{\partial w_{12}} {\partial x}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial w_{21}}\mbox{det}\boldsymbol{w}\cdot \displaystyle\frac{\partial w_{21}} {\partial x}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial w_{22}}\mbox{det}\boldsymbol{w}\cdot \displaystyle\frac{\partial w_{22}} {\partial x})$$

$$=\displaystyle\frac{1}{\mbox{det}\boldsymbol{w}}(w_{22} \displaystyle\frac{\partial w_{11}} {\partial x}-w_{21}\displaystyle\frac{\partial w_{12}} {\partial x}-w_{12}\displaystyle\frac{\partial w_{21}} {\partial x}+w_{11}\displaystyle\frac{\partial w_{22}} {\partial x})$$

$$=\mbox{trace} \left[ \displaystyle\frac{1}{\mbox{det}\boldsymbol{w}}\left
[\begin{array}{cc}
w_{22} & -w_{12} \\
-w_{21} & w_{11}
\end{array} \right]
\left[\begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{\partial w_{11}} {\partial x} & \displaystyle\frac{\partial w_{12}} {\partial x} \\
\displaystyle\frac{\partial w_{21}} {\partial x} & \displaystyle\frac{\partial w_{22}} {\partial x}
\end{array} \right] \right]
=\underline{\mbox{trace} \left(\boldsymbol{w}^{-1}\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{w}}{\partial x}\right)}$$

理想$Hilbert$変換器 周波数応答:$H(\omega)=-j\mbox{sgn}(\omega)$

但し，
$$\mbox{sgn}(\omega) = \begin{cases}
1 & (\omega>0) \\
-1 & (\omega<0)
\end{cases}$$

ここで，sgn関数の$fourier$変換は,

$$F[\mbox{sgn}(t)]=\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty} \mbox{sgn}(t) e^{-j \omega t} dt=\displaystyle\frac{2}{j\omega}$$

である.
$fourier$変換の双対性より，$$F[\displaystyle\frac{2}{jt}]=2\pi \cdot\mbox{sgn}(-\omega)=-2\pi \cdot\mbox{sgn}(\omega)$$となる.（※sgn関数は奇関数）

ここから,

$$F[\displaystyle\frac{1}{\pi t}]=-j\mbox{sgn}(\omega)$$

ゆえに，インパルス応答$h(t)$は,

$$h(t)=\displaystyle\frac{1}{\pi t}$$

となる.

入力信号$x(t)$を$Hilbert$変換した信号を$\hat{x}(t)$とすると,

$$\hat{x}(t)=\mbox{Convolution}[x(t),\displaystyle\frac{1}{\pi t}]
=\displaystyle\frac{1}{\pi} \displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}\displaystyle\frac{x(\tau)}{t-\tau} d\tau$$