ちょこちょこ式をいじってみました．以下，成り立つかな．
$${}_n C_r= \left(\displaystyle\prod_{k=1}^m\displaystyle\frac{(n-r+k)}{(r-k+1)} \right){}_n C_{r-m}$$
一応Scilabで確認
| clear; function [res]=comb(n,r);//コンビネーション関数 res=factorial(n)/(factorial(r)*factorial(n-r)); endfunction n=15; r=5; m=3; res=1; for k=1:1:m; res=res*((n-r+k)/(r-k+1)); end out=res*comb(n,r-m);//右辺 comb(n,r)//左辺 |
これを使って，2項間の漸化式を表現すると
$${}_n C_r=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\alpha\cdot {}_n C_{r-1}+\alpha\beta\cdot {}_n C_{r-2}\right)$$
ただし，$\alpha=\displaystyle\frac{n-r+1}{r},\beta=\displaystyle\frac{n-r+2}{r-1}$
確認用のコード．
| clear; function [res]=comb(n,r);//コンビネーション関数 res=factorial(n)/(factorial(r)*factorial(n-r)); endfunction n=8; r=3; alpha=(n-r+1)/r; beta=(n-r+2)/(r-1); comb(n,r) out=0.5(alpha*comb(n,r-1)+alpha*beta*comb(n,r-2)); |
他にも
$$\displaystyle\frac{(r-m)!(n-r+m)!}{r!(n-r)!}
=\displaystyle\prod_{k=1}^m\displaystyle\frac{(n-r+k)}{(r-k+1)}$$
も確認．
| clear; n=20; r=10; m=5; (factorial(r-m)factorial(n-r+m))/(factorial(r)factorial(n-r))//左辺 res=1; for k=1:1:m; res=res*((n-r+k)/(r-k+1));//右辺 end |