$f(x+h)$のテーラー展開は
$$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\displaystyle\frac{h^2}{2!}f^{”}(x)+\cdots $$
となります．これを確認してみます．
1次の微分までは簡単なので，2次微分までとします．
差分法を用いると2次微分は
$$f^{”}(x)=\displaystyle\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}$$
と表せます．（近似による）
ここから，
$$h^2f^{”}(x)=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)\cdots(1)$$
右辺を計算します．ここで，
$$f'(x)=\displaystyle\frac{f(x+2h)-f(x)}{2h}$$
より，
$$ f(x+2h)=2hf'(x)+f(x) $$
これを式(1)右辺に代入して
$$ 2hf'(x)+f(x)-2f(x+h)+f(x)=2hf'(x)-2f(x+h)+2f(x) $$
以上より
$$ h^2f^{”}(x)=2hf'(x)-2f(x+h)+2f(x) $$
ここから
$$f(x+h)=f(x)+hf'(x)-\displaystyle\frac{h^2}{2}f^{”}(x) $$
あれ？最後の符号をどこかに落としたかも．．