理想$Hilbert$変換器 周波数応答:$H(\omega)=-j\mbox{sgn}(\omega)$
但し，
$$\mbox{sgn}(\omega) = \begin{cases}
1 & (\omega>0) \\
-1 & (\omega<0)
\end{cases}$$
ここで，sgn関数の$fourier$変換は,
$$F[\mbox{sgn}(t)]=\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty} \mbox{sgn}(t) e^{-j \omega t} dt=\displaystyle\frac{2}{j\omega}$$
である.
$fourier$変換の双対性より，$$F[\displaystyle\frac{2}{jt}]=2\pi \cdot\mbox{sgn}(-\omega)=-2\pi \cdot\mbox{sgn}(\omega)$$となる.（※sgn関数は奇関数）
ここから,
$$F[\displaystyle\frac{1}{\pi t}]=-j\mbox{sgn}(\omega)$$
ゆえに，インパルス応答$h(t)$は,
$$h(t)=\displaystyle\frac{1}{\pi t}$$
となる.
入力信号$x(t)$を$Hilbert$変換した信号を$\hat{x}(t)$とすると,
$$\hat{x}(t)=\mbox{Convolution}[x(t),\displaystyle\frac{1}{\pi t}]
=\displaystyle\frac{1}{\pi} \displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}\displaystyle\frac{x(\tau)}{t-\tau} d\tau$$