$\displaystyle\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+Bu(t)$の解を導く
同次方程式は，
$$\displaystyle\frac{dx(t)}{dt}-Ax(t)=0 \,\,\, (\displaystyle\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t))$$
ここから，
$$\displaystyle\frac{1}{x(t)}\displaystyle\frac{dx(t)}{dt}=A\Rightarrow\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x(t)} dx(t)=\displaystyle\int A dt$$
積分結果は，$\mbox{ln}|x(t)|+C_1=At+C_2$
定数$C_1$と$C_2$は一つの定数$C$にまとめて，$\mbox{ln}|x(t)|=At+C$
ここから，$x(t)=e^{At+C}$と書ける．
ここで，定数変化法を用いる．$e^{C}=\xi(t)$とおくと，
$x(t)=e^{At}\xi(t)$となる．両辺微分して，
$$\displaystyle\frac{dx(t)}{dt}=\displaystyle\frac{d\xi(t)}{dt}e^{At}+Ae^{At}\xi(t)$$
$\displaystyle\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t)+Bu(t)$より,
$$\displaystyle\frac{d\xi(t)}{dt}e^{At}+Ae^{At}\xi(t)=Ae^{At}\xi(t)+Bu(t)$$
ゆえに，
$$\displaystyle\frac{d\xi(t)}{dt}=Be^{-At}u(t)$$
両辺積分して，
$$\displaystyle\int^t_{0}d\xi(t)=\displaystyle\int^t_{0} Bu(\tau)e^{-A\tau}d\tau$$
$$\xi(t)-\xi(0)=\displaystyle\int^t_{0} Bu(\tau)e^{-A\tau}d\tau \Rightarrow \xi(t)=\xi(0)+\displaystyle\int^t_{0} Bu(\tau)e^{-A\tau}d\tau$$
$x(t)=e^{At}\xi(t)$より，
$$x(t)=e^{At}[\xi(0)+\displaystyle\int^t_{0} Bu(\tau)e^{-A\tau}d\tau]$$
以上より，状態方程式の解は，
$$x(t)=e^{At} x(0)+\displaystyle\int^t_{0} Bu(\tau)e^{A(t-\tau)}d\tau\,\,\,(\mbox{ただし，}x(0)=e^{0}\xi(0))$$