極限式(1.1)，(1.2)から式(1.3)(Sinc関数の極限式)へ帰着させることを考える．
式(1.1)から式(1.3)への帰着方法に関しては，シンプルな方法があるが，今回は別方法を用いた．$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}\cdots(1.1)$$
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{e^x-1}{x}=1\cdots(1.2)$$
$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x}=1\cdots(1.3)$$
式(1.1)から式(1.3)へ
■シンプルな方法
$2\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}=1-\cos x$より，
$$\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{2\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}}{x^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}}{\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2}=\displaystyle\frac{1}{2}$$
$\displaystyle\frac{x}{2}=t$とおくと，
$$\displaystyle\lim_{t \to 0}\displaystyle\frac{\sin^2t}{t^2}=\displaystyle\lim_{t \to 0}\left(\displaystyle\frac{\sin t}{t}\right)^2=1$$
ここから，$\displaystyle\lim_{t \to 0}\displaystyle\frac{\sin t}{t}=1$となり，Sinc関数極限式へと帰着する．
今回は，シンプルな方法とは異なるアプローチでSinc関数極限式へと帰着させてみる．
オイラーの公式を用いて，次のように変形する．なお，$i$は虚数である．
$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{1-\cos x}{x^2}
=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{1-\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}{x^2}
=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{2-e^{ix}-e^{-ix}}{2x^2}$$
$$=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{(1-e^{-ix})+(1-e^{ix})}{2x^2}
=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{e^{-i\frac{x}{2}}(e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}})-e^{i\frac{x}{2}}(e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}})}{2x^2}$$
$$=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{(e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}})\left\{-(e^{i\frac{x}{2}}-e^{-i\frac{x}{2}})\right\}}{2x^2}
=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{2i\sin(\dfrac{x}{2})\left\{-2i\sin(\dfrac{x}{2})\right\}}{2x^2}$$
以上より，
$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{4\sin^2(\dfrac{x}{2})}{2x^2}
=\dfrac{1}{2}$$$\dfrac{x}{2}=t$とおくと
$$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\left(\dfrac{\sin(t)}{t}\right)^2=1$$
ここから，$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\dfrac{\sin(t)}{t}=1$とSinc関数極限式へと帰着する．
シンプルな方法に比べると長くなるが，オイラーの公式を用い，所々式変形に工夫をした．
式(1.2)から式(1.3)へ
次のように式変形していきます．
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{e^x-1}{x}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{e^{\frac{x}{2}} (e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}) }{x}= 2\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^{\frac{x}{2}} (e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}) }{2x}$$
$$=2\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x}\displaystyle\frac{(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}})}{2}=2\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^{\frac{x}{2}}}{x}\sinh(\displaystyle\frac{x}{2})$$
ここで，$\displaystyle\frac{x}{2}=t$とし，また，$\sinh(\displaystyle\frac{x}{2})=-i\sin(i\displaystyle\frac{x}{2})$を用いて式変形していくと
$$2\lim_{t \rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^{t}}{2t}\left\{-i\sin(it)\right\}
=\lim_{t \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\sin(it)}{it}\cdot e^{t}=1$$
$it=u$とおくと，
$$\lim_{u \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\sin(u)}{u}\cdot e^{-iu}=1$$
と書ける．さらに，オイラーの公式を用いると，
$$\displaystyle\lim_{u \to 0}\displaystyle\frac{\sin(u)}{u}\cdot(\cos(u)-i\sin (u))$$
$$=\lim_{u \rightarrow 0}\left\{\displaystyle\frac{\sin(u)}{u}\cdot\cos(u)-i\displaystyle\frac{\sin^2(u)}{u}\right\}=1$$
ここから，
$$\displaystyle\lim_{u \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\sin(u)}{u}\cdot\cos(u)=1\cdots(2.1)$$
$$\displaystyle\lim_{u \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\sin^2(u)}{u}=0\cdots(2.2)$$
が得られる．式(2.1)から，
$$\displaystyle\lim_{u \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\sin(u)}{u}=1$$
へと帰着する．