数学

派生極限式

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■派生極限式の導出


指数部の1/2でくくり，式変形を行っていた結果，3つの派生極限式を得た．以下にそれを示す．
まずは，次のように式変形を行う．

$$\displaystyle\frac{e^x-1}{x}=\displaystyle\frac{e^{\frac{x}{2}} (e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}) }{x}$$

上式で極限をとると，収束値は同じく，

$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{e^x-1}{x}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{e^{\frac{x}{2}} (e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}) }{x}=1$$

である．ここで，$e^{\frac{x}{2}}=t$と置換すると，

$$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 1} \displaystyle\frac{t(t-t^{-1})}{2\mbox{log} t}
=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle \lim_{t \rightarrow 1} \displaystyle\frac{(t-1)(t+1)}{\mbox{log} t}=1$$

となる．上式は1に収束することから，

$$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 1}\displaystyle\frac{(t-1)(t+1)}{\mbox{log}t}=2$$

が分かる．次に$t+1=u$とおくと，

$$\displaystyle \lim_{u \rightarrow 2}\displaystyle\frac{u(u-2)}{\mbox{log}(u-1)}=2$$

が成立し，また，$t-1=v$とおくと，

$$\displaystyle \lim_{v \rightarrow 0}\displaystyle\frac{v(v+2)}{\mbox{log}(v+1)}=2$$

も成立する．
以上をまとめると，次の3つの派生極限式を得る．
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{x(x+2)}{\mbox{log}(x+1)}=2\cdots(1)$$
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{\mbox{log}x}=2\cdots(2)$$
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\displaystyle\frac{(x-2)x}{\mbox{log}(x-1)}=2\cdots(3)$$

■極限式の一般化と証明

(1)中の関数を，$x$軸方向へ1平行移動した関数が(2)であり，(2)，(3)の関係についても同様である．

Fig．1 (1)，(2)，(3)グラフ


(1)，(2)，(3)をみていると，

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow \alpha}\displaystyle\frac{(x-\alpha)(x-\alpha+n)}{\mbox{log}(x-\alpha+1)}=n\cdots(4)$$

と予想できる．ここで，ロピタルの定理を用いて証明すると，

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow \alpha}\displaystyle\frac{(x-\alpha)(x-\alpha+n)}{\mbox{log}(x-\alpha+1)}$$

$$=\displaystyle\lim_{x \rightarrow \alpha}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{d}{dx}(x-\alpha)(x-\alpha+n)}{\displaystyle\frac{d}{dx}\mbox{log}(x-\alpha+1)}$$

$$=\displaystyle\lim_{x \rightarrow \alpha}\{2(x-\alpha)+n\}(x-\alpha+1)=n$$

と証明できる．また，$x-\alpha=\beta$とおくと，

$$\displaystyle\lim_{\beta \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\beta(\beta+n)}{\mbox{log}(\beta+1)}=n\cdots(5)$$
と書くこともできる．

■数学的帰納法による証明

$n>0$のとき，(4)を階乗で表現する．
$n=1$の時，

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow \alpha} \displaystyle\frac{(x-\alpha+1)!}{(x-\alpha-1)!\mbox{log}(x-\alpha+1)}=1$$
ここで，$x-\alpha=\beta$とすると，以下のように書ける．
$$\displaystyle\lim_{\beta \rightarrow 0}\displaystyle\frac{(\beta+1)!}{(\beta-1)!\mbox{log}(\beta+1)}$$

$$=\displaystyle\lim_{\beta \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\beta}{\mbox{log}(\beta+1)}(\beta+1)=1$$

ここから，

$$\displaystyle\lim_{\beta \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\beta}{\mbox{log}(\beta+1)}=1$$

が導出される．$n \geq 2$では，

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow \alpha}\displaystyle\frac{(x-\alpha+n)!}{\left[\displaystyle\prod_{j=2}^n(x-\alpha+j-1)\right](x-\alpha-1)!\log(x-\alpha+1)}=n$$

となり，前述と同様に$x-\alpha=\beta$とすると，

$$\displaystyle\lim_{\beta \rightarrow 0}\displaystyle\frac{(\beta+n)!}{\left[\displaystyle\prod_{j=2}^n(\beta+j-1)\right](\beta-1)!\log(\beta+1)}=n$$

となる．次に，この式を数学的帰納法で証明する．

$n=2$の時，(1)より成立．$n=k$の時，即ち，

$$\displaystyle\lim_{\beta \rightarrow 0}\displaystyle\frac{(\beta+k)!}{\left[ \displaystyle\prod_{j=2}^k(\beta+j-1) \right] (\beta-1)!\mbox{log}(\beta+1)}=k$$

が成立すると仮定すると，$n=k+1$の時，

$$\displaystyle\lim_{\beta \rightarrow 0}\displaystyle\frac{(\beta+k+1)!}{\left[ \displaystyle\prod_{j=2}^{k+1}(\beta+j-1) \right] (\beta-1)!\log(\beta+1)}$$

$$=\displaystyle\lim_{\beta \rightarrow 0}\displaystyle\frac{(\beta+k)!}{\left[\displaystyle\prod_{j=2}^k(\beta+j-1) \right] (\beta-1)!\log(\beta+1)}\times \left\{ \displaystyle\frac{\beta+k+1}{\beta+k} \right\}$$

$$=\displaystyle\lim_{\beta \rightarrow 0} k \times \left\{ \displaystyle\frac{\beta+k+1}{\beta+k} \right\}=k+1$$

以上より，$n \geq 2$の自然数において成立する．

■プログラミング


Fig．1の描画，及び階乗を用いた式変形が正しいことを確認するために，Scilab(ver5．5．2)でプログラミングを行った．
Fig．2は，式変形の確認ﾞで(5)，(6)の$n$を2～50，及び$\beta$を1～50まで動かしたものをプロットしている．両グラフが完全に一致することから，階乗を用いた式変形に誤りがないことが分かる．
コーディングする際の注意点として，(5)は真数条件より，$\beta > -1$の条件がつく．
(6)は負の階乗がないことと，真数条件より$\{{\beta-1\geq 0}\} \cap\{ {\beta+1 > 0} \}$．ここから，$\beta \geq 1$の条件がつく．

Fig．2 (5)，(6)比較
///////////////////////////////////////
//　　　　Fig.1 描画　　　　　//
//////////////////////////////////////
clear;

funcprot(0);//x軸範囲指定 関数
function[x]=x_ax(a,x_e,d_s);
//引数 a:式中α, x_e:x軸範囲の終値 ,d_s:データサイズ
　　x_s=a-1;
　　x=linspace(x_s+0.01,x_e,d_s);//真数条件より,x初期値決定
endfunction
funcprot(0);//極限式 描画関数
function[res]=limfcn(a,n,x_e,d_s);
//引数 a:式中α, n:収束値 x_e:x軸範囲の終値,d_s:データサイズ
　　x=x_ax(a,x_e,d_s);
　　res=((x-a).*(x-a+n))./log(x-a+1+%eps);//極限式
endfunction
//main関数//
d_sm=50; //データサイズ定義
x_em=2.2;//x軸描画範囲の終値
//α=0式 プロット
plot(x_ax(0,x_em,d_sm),limfcn(0,2,x_em,d_sm));
a=gce();
c=a.children;
c.thickness = 3;
//α=1式 プロット
plot(x_ax(1,x_em,d_sm),limfcn(1,2,x_em,d_sm),’m–‘);
a=gce();
c=a.children;
c.thickness = 3;
//α=2式 プロット
plot(x_ax(2,x_em,d_sm),limfcn(2,2,x_em,d_sm),’r++’);
a=gce();
c=a.children;
c.thickness = 3;
xgrid();
xlabel(“x”, “fontsize”, 4);
legend([‘(1)式’;'(2)式’;'(3)式’]);
///////////////////////////////////////
//　　　　Fig.2 描画　　　　　//
//////////////////////////////////////
clear;

beta_s=1;//β初期値
beta_end=50;//β終値
n_s=2;//収束値 n初期値
n_e=50;//収束値 n終値
for n=n_s:1:n_e;//nの範囲
　for i=beta_s:1:beta_end;//βの範囲
　　　res_b(n,i)=(i.*(i+n))./log(i+1);//階乗未使用
　　　pi=1;
　　　for j=2:1:n;
　　　　　pi=pi*(i+j-1);//Π部分計算
　　　end
　　　res_a(n,i)=factorial(i+n)/(pi*factorial(i-1)*log(i+1));//階乗表現
　end
end
subplot(1,2,1)
surf(res_b);
set(gcf(),’color_map’,jetcolormap(256));
xgrid();
title(‘(5)式’,’fontsize’,6);
subplot(1,2,2)
surf(res_a);
set(gcf(),’color_map’,jetcolormap(256));
xgrid();
title(‘(6)式’,’fontsize’,6);
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