2つの関数の積の微分は，
$$\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
$$=f(x)g(x)\biggl\{ \displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)} \biggr\}$$です．
次に$f(x)g(x)h(x)$の微分は
$$\{f(x)g(x)h(x)\}’=\{f(x)g(x)\}’h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$
$$=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$
$$=f(x)g(x)h(x)\biggl(\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}+\displaystyle\frac{h'(x)}{h(x)}\biggr)$$
となります．
他にも，$y=f(x)g(x)h(x)$とおくと
$$\log y=\log \{f(x)\}+\log \{g(x)\}+\log \{h(x)\}$$
両辺微分して
$$\displaystyle\frac{y’}{y}=\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}+\displaystyle\frac{h'(x)}{h(x)}$$
以上より
$$y’=y\biggl(\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}+\displaystyle\frac{h'(x)}{h(x)}\biggr)$$
$$=f(x)g(x)h(x)\biggl(\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}+\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}+\displaystyle\frac{h'(x)}{h(x)}\biggr)$$
となり同様の結果となる．
2つの積および3つの積の微分から規則がみえ，さらに関数にインデックス番号を付けると以下のようになりそう．
$$\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl\{\displaystyle\prod_{i} f_i(x)\biggr\}=\displaystyle\prod_{j}f_j(x)\displaystyle\sum_k\displaystyle\frac{f_k'(x)}{f_k(x)}$$