$$D(\theta,\phi)=\displaystyle\sum_{n}\displaystyle\sum_{m}C_{nm}e^{jk\boldsymbol{V}_{nm}\cdot\boldsymbol{a}_r}$$
上式に，$\boldsymbol{a}_r=\boldsymbol{i}\sin\theta\cos\phi+\boldsymbol{j}\sin\theta\sin\phi+\boldsymbol{k}\cos\theta,\boldsymbol{V}_{nm}=\boldsymbol{i}nV_1+\boldsymbol{j}mV_2,C_{nm}=C_0e^{-j(n\delta_1+m\delta_2)}$を代入する．
ここで，$V_1$は$x$軸方向の素子間隔で$V_2$は$y$軸方向の素子間隔，$\delta_1$は$x$軸方向に与える素子間の位相差，$\delta_2$は$y$軸方向に与える素子間の位相差である．
$$D(\theta,\phi)=\displaystyle\sum_{n}\displaystyle\sum_{m}C_0e^{-j(n\delta_1+m\delta_2)}\cdot e^{jk(nV_1\sin\theta\cos\phi+mV_2\sin\theta\sin\phi)}$$
$$=C_0\displaystyle\sum_{n}e^{jn(kV_1\sin\theta\cos\phi-\delta_1)}\displaystyle\sum_{m}e^{jm(kV_2\sin\theta\sin\phi-\delta_2)}$$
$\Psi_x=kV_1\sin\theta\cos\phi-\delta_1,\Psi_y=kV_2\sin\theta\sin\phi-\delta_2$と置換して変形すると，アレーファクターは次のようになる．
$$D(\theta,\phi)=C_0\displaystyle\sum_{n}e^{jn\Psi_x}\displaystyle\sum_{m}e^{jm\Psi_y}$$
$$=C_0\displaystyle\frac{1-e^{jn\Psi_x}}{1-e^{j\Psi_x}}\displaystyle\frac{1-e^{jm\Psi_y}}{1-e^{j\Psi_y}}$$
オイラーの公式を使って整理すると，以下のように書ける．
$$D(\theta,\phi)=C_0e^{j\frac{n-1}{2}\Psi_x}\displaystyle\frac{\sin(\displaystyle\frac{n}{2}\Psi_x)}{\sin(\displaystyle\frac{1}{2}\Psi_x)}e^{j\frac{m-1}{2}\Psi_y}\displaystyle\frac{\sin(\displaystyle\frac{m}{2}\Psi_y)}{\sin(\displaystyle\frac{1}{2}\Psi_y)}$$
最大値は，$nm$（素子数）となる．