上図に示すようにアンテナ素子が間隔$d$で並んでいるとるする．
素子アンテナの電界は
$$E(r)=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr}}{r}\cdots(1)$$
で表され，$k$は波数であり，$k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}$である．
式（1）より各素子アンテナによる電界成分は，
$$E_1(r)=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1} \cdots(2)$$
$$E_2(r)=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_2}}{r_2}=E_0\displaystyle\frac{e^{-jk(r_1-d\sin\theta)}}{r_1-d\sin\theta}=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1}\displaystyle\frac{e^{jkd\sin\theta}}{1-\displaystyle\frac{d}{r_1}\sin\theta}\cdots(3)$$
ここで，
$$\displaystyle\lim_{r_1\to\infty}\displaystyle\frac{e^{jkd\sin\theta}}{1-\displaystyle\frac{d}{r_1}\sin\theta}=e^{jkd\sin\theta}\cdots(4)$$
これから，$n$番目の素子による電界は，
$$E_n(r)=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1}e^{jk(n-1)d\sin\theta}\cdots(5)$$
上式を末項として，全電界成分の和をとると，
$$E=E_1+E_2+\cdots+E_n=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1}\{ 1+e^{jkd\sin\theta}+\cdots+e^{jk(n-1)d\sin\theta}\}\cdots(6) $$
等比数列の和の式とオイラーの公式を用いると，以下のようになる．
$$E=E_0\displaystyle\frac{e^{-jkr_1}}{r_1}e^{j\frac{k}{2}(n-1)d\sin\theta}\displaystyle\frac{\sin(\displaystyle\frac{knd}{2}\sin\theta)}{\sin(\displaystyle\frac{kd}{2}\sin\theta)}\cdots(7)$$
式（7）に絶対値をとると
$$|E|=\displaystyle\frac{\sin(\displaystyle\frac{knd}{2}\sin\theta)}{\sin(\displaystyle\frac{kd}{2}\sin\theta)}\cdots(8)$$
のみとなり，これが指向性を表す項となる．さらに$\displaystyle\frac{kd}{2}\sin\theta=\psi$とおき$D(\theta)$と表現すると，式（8）は次のように表せる．
$$D(\theta)=\displaystyle\frac{\sin(n\psi)}{\sin(\psi)}\cdots(9)$$
式（9）の最大値は
$$D(\theta)=n\displaystyle\frac{\psi}{\sin(\psi)}\displaystyle\frac{\sin(n\psi)}{n\psi}\cdots(10)$$
と変形し，$\psi\to0$の極限を求める．
$$\displaystyle\lim_{\psi\to0}D(\theta)=n\displaystyle\lim_{\psi\to0}\displaystyle\frac{\psi}{\sin(\psi)}\displaystyle\frac{\sin(n\psi)}{n\psi}=n\cdots(11)$$
となり，最大値は$n$つまり，素子数となる．
上図は7素子の指向性である．
この図で$\pm\pi$の個所にメインローブ同様に大きいサイドローブがある．これがグレーティングローブであり，グレーティングローブのような大きいローブが現れるのは好ましくない．ここで，$\psi<\pi$より．$\displaystyle\frac{kd}{2}\sin\theta<\pi$，波数$k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}$より$\displaystyle\frac{\pi d}{\lambda}\sin\theta<\pi$が導かれる．
$|\sin\theta|\leq1$より，$\displaystyle\frac{\pi d}{\lambda}<\pi$よって$d<\lambda$となる．
以上から，アレイアンテナの素子間隔は1波長より小さくする必要がある．
例えば，素子間隔$d=\displaystyle\frac{\lambda}{2}$とすると，$\theta=90$[deg]で$\psi=\displaystyle\frac{\pi}{2}$となる．よって，可視領域が$|\psi|\leq \displaystyle\frac{\pi}{2}$の範囲となる．
横軸を$\psi$座標で指向性を示すと，グレーティングローブが現れない範囲で可視領域はできるだけ広範囲にした方がよい．可視領域が広いほど実際の空間でのビーム幅は狭くなり，ビーム幅が狭ければ高利得のアンテナになるからである．